Open set과 Closed set, 그리고 basis

위상에서 가장 기초가 되는 개념이 Open set과 closed set일 것이다. 우선 정의를 보면, 다음과 같다.

Definition (Topology) Let $X$ be a set. and let $\mathcal{T}\subset P(X)$ be the collection such that: i) $\emptyset, X \in \mathcal{T}$ ii) $A_{i}\in \mathcal{T} , i=1,2,\cdots,n$, $\cap_{i=1}^{n}A_{i}\in\mathcal{T}$ iii) $A_{\alpha}\in \mathcal{T}, \alpha\in\Lambda,$ $\cup_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha}\in\mathcal{T}$ Then $(X,\mathcal{T})$ is call a topological space and $\mathcal{T}$ is call a topology on $X$.

잠시 언급하자면, James Munkres의 책을 기반으로 하고 있으므로, 정의나 정리, 증명 등을 영어로 작성하는 경우가 많을 것이다. 그리고 여러모로 영어로 공부하는 것이 수학을 공부하는데 있어서 많은 이점이 있다.

위와 같이 정의 된 위상공간(Topological Space)에서 $\mathcal{T}$의 원소들을 우리는 open set이라고 부른다. 그리고 이 open set의 여집합을 closed set이라고 부른다. 

$\mathcal{T}$는 $P(X)$의 부분집합이므로 위 조건을 만족하는 최소 집합은 $\{\emptyset, X\}$ 이며, 최대 집합은 $P(X)$이다. 따라서 $\{\emptyset, X\}$을 indiscrete Topology(비이산 위상), $P(X)$를 discrete topology(이산 위상)라고 부른다.

Topology의 정의로 부터 open set들의 finite intersection과 arbitrary union 또한 Open set임을 알 수 있다. closed set은 open set의 여집합이므로, arbitrary intersection과 finite union이 closed set 임을 알 수 있다. 이것은 드 모르간 법칙을 이용해서 간단히 증명할 수 있다.

위상에서 많은 성질이 이 두 종류의 집합에 관해서 서술되어 진다. 그러므로 이들이 어떠한 모습을 갖는지, 어떠한 성질을 갖는지가 중요하다.

여기서 Open set에 대한 가장 많이 쓰이는 정리를 소개하도록 하겠다.

Theorem 1. Let $(X,\mathcal{T})$ be a topological space. then $U\subset X$ is open iff for all $x\in U, \exists U_{x} : open s.t. x\in U_{x}\subset U$.

이 정리는 open set임을 보이는데 가장 유용한 정리중 하나이다. 나중에 basis의 개념을 도입하면 위에 쓰인 $U_{x}$들이 basic open set 이어도 성립을 한다.

우선 basis 의 정의를 소개하도록 하겠다.

Definition. (Basis) Let X be a space. and let $\mathcal{B}\subset P(X)$. If $\mathcal{B}$ satisfies the following conditions : i) $\cup \mathcal{B} =X$ ii) For $B_{1}, B_{2}\in \mathcal{B}$ and $x\in B_{1}\cap B_{2}$, $\exists B_{3}\in \mathcal{B}$ s.t. $x\in B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}$. Then $\mathcal{B}$ is called a basis for an topology

위상을 처음 할 때 가장 헷갈리고 실수하기 쉬운 부분이 이 basis의 정의에 대한 부분이다.

basis의 정의를 보면 위 두 조건을 만족하는 집합족은 어떤 한 topology의 basis가 된다는 것이다. 이때 어떤 topology는 알 수 없다. 즉, 특정한 topology의 basis임을 보이기 위해서는 이 정의를 이용해서 보일 수는 없다. 단지, 이런 조건을 만족하는 집합족이 있으면, 어떤 topology의 basis가 되고, 이 basis를 이용해 topology를 정의할 수 있다는 점만 알면 될듯 하다. 특정한 topology의 basis가 됨을 보이기 위해서는 다음 정리를 이용해야 한다.

Theorem 2. Let $(X,\mathcal{T})$ be a topological space. and let $\mathcal{B}\subset \mathcal{T}$. If for each open set $U$ and $x\in U$, $\exists B_{x}\in \mathcal{B} s.t. x\in B_{x}\subset U$ then $\mathcal{B}$ is called a basis for $\mathcal{T}$.

위 정리를 통해 알 수 있는 사실은 $U=\cup_{x\in U}U_{x}$ 이라는 것을 알 수 있다. 여기서 $U_{x}$들을 모두 basic open set 으로 택해도 무방하다는 것이다.

이를 이용해 basis를 이용해 topology를 정의 할 수 있다.

$$\mathcal{T}=\{\textrm{The arbitrary union of }\mathcal{B}\}$$

위와 같이 정의된 집합 $\mathcal{T}$는 topology이며, basis $\mathcal{B}$ 로 생성되는 topology라고 한다.