Basic Topology - 3 (Subspace)

대수학에서 Group을 배우면 subgroup을 배우듯, 위상에서도 subspace에 대한 것을 배우게 된다.

정의는 간단하다.

Definition (Subspace) Let $(X,\mathcal{T})$ be a topological space. and let $Y\subset X$. Then $(Y,\mathcal{T}_{Y})$ is a subspace of $(X,\mathcal{T})$ if $\mathcal{T}_{Y}=\{U\cap Y|U\in \mathcal{T}\}$.

위와 같이 정의한다. total set의 open set들과의 교집합을 open으로 정의를 하면 된다. 

여기서 $Y$가 open set이면, $X$의 subset $U$에 대해서 $U$가 $Y$ 에서 open 이면 $X$에서 open 이다.

그리고 subspace들의 product space는 total set들의 product space의 subspace가 된다.

기본적으로 subspace에 대한 내용은 이정도면 충분할 듯 보인다. 다만, 이 간단한 개념이 뒤에서 매우 중요하게 쓰여진다. 왜냐하면 아무리 복잡합 space라도 간단한 subspace를 가질 수 있고, 특정 조건 하에서는 subspace와 total space가 같은 성질을 가지게 된다. 따라서 topological space를 이해하는데에 있어서 중요한 개념 중에 하나이다.

아직 언급하지 않은 내용을 한 가지 언급한다면, topological space에는 compact라는 성질이 있다. 이 compact라는 성질은 topological space에서 매우 중요한 개념이며, 이 compact인 subspace는 여러가지 성질을 만족한다. 이는 compact에 대해서 소개할 때 자세히 언급하도록 하겠다.